1989 年考研数学（二） 第 18 题

这类「哪个极限保证可导」的辨析题，标准做法：把每个式子往导数定义 $\frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}$ 上靠。单侧（A）不够；不含 $f(a)$ 的对称差商（B、C）会漏掉不连续的反例；只有 D 换元后正好是双侧定义式，故为充分（实为充要）条件。

本题考查导数定义的严格辨析。 可导要求 $\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}$（双侧、以 $f(a)$ 为基点）存在。逐一检验四个选项。

选项 A：令 $h\to +\infty$ 即 $\frac{1}{h}\to 0^{+}$，该极限只是右导数，不能保证左侧，故非充分条件。

选项 B、C：属于「对称差商」类。取反例 $f(x)=\{\begin{array}{ll}1,& x=a,\\ 2x,& x\ne a\end{array}$（在 $a$ 处不连续，故不可导）。可算得 ${\lim }_{h\to 0}\frac{f(a+2h)-f(a+h)}{h}=2$、${\lim }_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a-h)}{2h}=2$ 都存在，但 $f$ 在 $a$ 并不可导。故 B、C 不是充分条件。

选项 D：令 $k=-h$，则
$$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(a)-f(a-h)}{h}=\underset{k\to 0}{\lim }\frac{f(a)-f(a+k)}{-k}=\underset{k\to 0}{\lim }\frac{f(a+k)-f(a)}{k}=f^{\prime }(a).$$
它正是导数定义本身（双侧、基点为 $f(a)$），存在即 $f^{\prime }(a)$ 存在。故选 D。