1989 年考研数学（二） 第 19 题

一阶线性方程的固定套路：化标准形 $\to$ 求积分因子 $e^{\int P}\to$ 套通解公式。本题妙在积分因子 $x{e}^{-x}$ 与 $Q=\frac{e^{2x}}{x}$ 相乘后，$x$ 约掉、$e^{2x}\cdot e^{-x}=e^x$，被积函数极简，$\int e^x=e^x$。最后用初值把 $C$ 钉死即得特解。

本题考查一阶线性微分方程（用积分因子/通解公式）加初值确定特解。 先化为标准形式 $y^{\prime }+P(x)y=Q(x)$。

两端除以 $x$：
$$y^{\prime }+\left(\frac{1}{x}-1\right)y=\frac{1}{x}{e}^{2x},P(x)=\frac{1}{x}-1,Q(x)=\frac{e^{2x}}{x}.$$

计算 $\int Pdx=\int \left(\frac{1}{x}-1\right)dx=\ln x-x$。由通解公式 $y=e^{-\int Pdx}\left(\int Q{e}^{\int Pdx}dx+C\right)$：
$$e^{\int Pdx}=e^{\ln x-x}=x{e}^{-x},e^{-\int Pdx}=\frac{e^x}{x}.$$
$$y=\frac{e^x}{x}\left(\int \frac{e^{2x}}{x}\cdot x{e}^{-x}dx+C\right)=\frac{e^x}{x}\left(\int e^{x}dx+C\right)=\frac{e^x}{x}\left(e^x+C\right).$$

代入初值 $y(1)=0$：$\frac{e}{1}(e+C)=0\Rightarrow C=-e$。故特解
$$y=\frac{e^x}{x}\left(e^x-e\right)=\frac{e^{2x}-e^{x+1}}{x}.$$