1989 年考研数学（二） 第 20 题

见到「$f(x)=\cdots -{\int }_0^x(x-t)f(t)dt$」这种卷积型积分方程，标准解法是求导降维成微分方程：核 $(x-t)$ 求两次导恰好消掉、并生出 $f^{\prime \prime }+f$。求导过程中令 $x=0$ 顺手拿到初值。最后 $f^{\prime \prime }+f=-\sin x$ 因右端与 $\cos x,\sin x$ 共振，特解须乘 $x$。

本题考查把积分方程化为微分方程求解。 先把含 $x$ 的因子提到积分号外，再对 $x$ 逐次求导，同时读出初始条件。

把 ${\int }_0^x(x-t)f(t)dt=x{\int }_0^{x}f(t)dt-{\int }_0^{x}tf(t)dt$ 代入：
$$f(x)=\sin x-x{\int }_0^{x}f(t)dt+{\int }_0^{x}tf(t)dt.$$
先记录初值：令 $x=0$ 得 $f(0)=0$。

两端对 $x$ 求导（变限积分求导，注意 $-x{\int }_0^{x}f$ 用乘积法则）：
$$f^{\prime }(x)=\cos x-{\int }_0^{x}f(t)dt-xf(x)+xf(x)=\cos x-{\int }_0^{x}f(t)dt.\text{\hspace{1em}(1)}$$
由 (1) 令 $x=0$ 得 $f^{\prime }(0)=1$。

对 (1) 再求导：
$$f^{\prime \prime }(x)=-\sin x-f(x)⟹f^{\prime \prime }(x)+f(x)=-\sin x.\text{\hspace{1em}(2)}$$

解常系数方程 (2)：特征方程 ${\lambda }^2+1=0$，根 $\lambda =\pm i$，齐次通解 $C_1\cos x+C_2\sin x$。因 $-\sin x$ 与齐次解共振，设特解 $f_0=x(A\cos x+B\sin x)$，代入得 $A=\frac{1}{2},B=0$，即 $f_0=\frac{x}{2}\cos x$。故
$$f(x)=C_1\cos x+C_2\sin x+\frac{x}{2}\cos x.$$

代入初值 $f(0)=0$ 得 $C_1=0$；由 $f^{\prime }(0)=1$（注意 $f^{\prime }(x)=-C_1\sin x+C_2\cos x+\frac{1}{2}\cos x-\frac{x}{2}\sin x$，$f^{\prime }(0)=C_2+\frac{1}{2}$）得 $C_2=\frac{1}{2}$。所以
$$f(x)=\frac{1}{2}\sin x+\frac{x}{2}\cos x.$$