1989 年考研数学（二） 第 21 题

「证明恰有两个根」的经典结构：构造辅助函数 $f$，证明它先增后减（唯一极大点），若最大值 $>0$ 而两端都 $\to -\infty$，则曲线穿过 $x$ 轴恰两次。本题第一步的障眼法是那个定积分——它其实是个常数，用 $1-\cos 2x=2{\sin }^{2}x$ 化根号后算得 $2\sqrt{2}$，方程随即变成可分析的 $\ln x=\frac{x}{e}-2\sqrt{2}$。

本题考查用单调性与最值（结合零点定理）证明方程根的个数。 先把定积分这个常数算出来，再研究辅助函数的单调性与极值符号。

先算常数积分：$1-\cos 2x=2{\sin }^{2}x$，在 $[0,\pi ]$ 上 $\sin x\ge 0$，故
$${\int }_0^{\pi }\sqrt{1-\cos 2x}dx={\int }_0^{\pi }\sqrt{2}|\sin x|dx=\sqrt{2}{\int }_0^{\pi }\sin xdx=\sqrt{2}\cdot 2=2\sqrt{2}.$$
于是原方程化为 $\ln x=\frac{x}{e}-2\sqrt{2}$。

令 $f(x)=\ln x-\frac{x}{e}+2\sqrt{2}(x>0)$，则方程的根即 $f$ 的零点。求导：
$$f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{e}=0\Rightarrow x=e.$$
又 $f^{\prime \prime }(x)=-\frac{1}{x^2}<0$，$f^{\prime \prime }(e)<0$，故 $x=e$ 是 $f$ 的唯一极大值点，也是最大值点。

最大值为
$$f(e)=\ln e-\frac{e}{e}+2\sqrt{2}=1-1+2\sqrt{2}=2\sqrt{2}>0.$$

端点趋势：$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)=-\infty$（$\ln x\to -\infty$），$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=-\infty$（$-\frac{x}{e}$ 占主导）。

$f$ 在 $(0,e)$ 上单调增（从 $-\infty$ 增到 $2\sqrt{2}>0$），由零点定理恰有一个零点；在 $(e,+\infty )$ 上单调减（从 $2\sqrt{2}>0$ 减到 $-\infty$），恰有一个零点。故 $f$ 在 $(0,+\infty )$ 内恰有两个零点，即原方程有且仅有两个不同实根。$■$