1989 年考研数学（二） 第 22 题

函数作图题就是「一阶导管单调与极值、二阶导管凹凸与拐点、极限管渐近线」的流水线。关键细节：$x=0$ 不在定义域，判符号时它和真正的驻点/拐点候选（$x=-2$、$x=-3$）一起把数轴分段。凹凸的中文约定要与教材一致（$y^{\prime \prime }>0$ 为凹）。逐格填入即成表。

本题考查函数作图的综合分析：定义域、单调性、极值、凹凸性、拐点、渐近线。 逐项用一阶、二阶导数与极限判断。

定义域为 $(-\infty ,0)\cup (0,+\infty )$。把 $y=\frac{x+1}{x^2}=x^{-1}+x^{-2}$ 求导：
$$y^{\prime }=-\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x^3}=-\frac{x+2}{x^3},y^{\prime \prime }=\frac{2}{x^3}+\frac{6}{x^4}=\frac{2(x+3)}{x^4}.$$

单调性、极值（由 $y^{\prime }=-\frac{x+2}{x^3}$，令 $y^{\prime }=0$ 得 $x=-2$）：
- $x<-2$：$y^{\prime }<0$，减；
- $-2<x<0$：$y^{\prime }>0$，增；
- $x>0$：$y^{\prime }<0$，减。

故单调减少区间为 $(-\infty ,-2]$ 及 $(0,+\infty )$，单调增加区间为 $[-2,0)$。$x=-2$ 为极小值点，极小值 $y(-2)=\frac{-2+1}{4}=-\frac{1}{4}$。

凹凸性、拐点（由 $y^{\prime \prime }=\frac{2(x+3)}{x^4}$，令 $y^{\prime \prime }=0$ 得 $x=-3$；注意 $x^4>0$）：
- $x<-3$：$y^{\prime \prime }<0$，凸（此处采用同济教材约定：$y^{\prime \prime }>0$ 为凹、$y^{\prime \prime }<0$ 为凸）；
- $-3<x<0$：$y^{\prime \prime }>0$，凹；
- $x>0$：$y^{\prime \prime }>0$，凹。

故凹区间为 $(-3,0)$ 及 $(0,+\infty )$，凸区间为 $(-\infty ,-3)$。拐点为 $\left(-3,y(-3)\right)=\left(-3,\frac{-3+1}{9}\right)=\left(-3,-\frac{2}{9}\right)$。

渐近线：$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x+1}{x^2}=0$，得水平渐近线 $y=0$；$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x+1}{x^2}=+\infty$，得铅直渐近线 $x=0$。

汇总填表：
- 单调减少区间：$(-\infty ,-2]$ 及 $(0,+\infty )$
- 单调增加区间：$[-2,0)$
- 极值点：$x=-2$
- 极值：极小值 $y=-\frac{1}{4}$
- 凹区间：$(-3,0)$ 及 $(0,+\infty )$
- 凸区间：$(-\infty ,-3)$
- 拐点：$\left(-3,-\frac{2}{9}\right)$
- 渐近线：$y=0$（水平），$x=0$（铅直）