1989 年考研数学（二） 第 23 题

这是「约束下求最值」题：两个几何条件（过原点、面积）把三个待定系数压成单参数 $a$，于是体积 $V$ 成为一元函数，用导数求极小即可。核心动作是把 $b$ 用 $a$ 消去，让 $V$ 只依赖 $a$；随后 $V(a)$ 是开口向上的二次函数，$V^{\prime }(a)=0$ 的唯一驻点就是最小值点。

本题考查定积分（面积、旋转体体积）与一元函数求最值的综合。 先用两个条件把三参数减到一个自由参数，再把 $V$ 写成该参数的函数求极小。

条件 1（过原点）： 代入 $(0,0)$ 得 $c=0$，故 $y=a{x}^2+bx$。

条件 2（面积 $=\frac{1}{3}$）： 在 $[0,1]$ 上 $y\ge 0$，
$${\int }_0^1(a{x}^2+bx)dx=\frac{a}{3}+\frac{b}{2}=\frac{1}{3}\Rightarrow b=\frac{2}{3}(1-a).$$

体积（绕 $x$ 轴）：
$$V=\pi {\int }_0^1(a{x}^2+bx{)}^{2}dx=\pi \left(\frac{a^2}{5}+\frac{ab}{2}+\frac{b^2}{3}\right).$$
把 $b=\frac{2}{3}(1-a)$ 代入并整理，得只含 $a$ 的函数
$$V(a)=\pi \left(\frac{2}{135}{a}^2+\frac{1}{27}a+\frac{4}{27}\right).$$

求最小：
$$V^{\prime }(a)=\pi \left(\frac{4}{135}a+\frac{1}{27}\right)=0\Rightarrow \frac{4}{135}a=-\frac{5}{135}\Rightarrow a=-\frac{5}{4}.$$
又 $V^{\prime \prime }(a)=\frac{4\pi }{135}>0$，故 $a=-\frac{5}{4}$ 处取极小（也是最小）。

回代求另两个参数：$b=\frac{2}{3}\left(1-\left(-\frac{5}{4}\right)\right)=\frac{2}{3}\cdot \frac{9}{4}=\frac{3}{2}$，$c=0$。
故当 $a=-\frac{5}{4},b=\frac{3}{2},c=0$ 时，旋转体体积 $V$ 最小。