1988 年考研数学（二） 第 8 题

微分 $dy=f^{\prime }(x_0)\Delta x$ 本质是 $\Delta x$ 的常数倍。判断两个无穷小的阶，只看比值极限：$dy/\Delta x=f^{\prime }(x_0)=\frac{1}{2}$ 是非零常数，故「同阶而非等价」。记住等价要求比值 $=1$，此处是 $\frac{1}{2}$，所以只能是同阶。

本题考查微分的定义与无穷小阶的比较。 微分 $dy=f^{\prime }(x_0)\Delta x$。

由定义 $dy=f^{\prime }(x_0)\Delta x=\frac{1}{2}\Delta x$。当 $\Delta x\to 0$，$\frac{dy}{\Delta x}=\frac{1}{2}$（非 $0$、非 $1$）。

比值极限为非零常数 $\frac{1}{2}$，说明 $dy$ 与 $\Delta x$ 是同阶但不等价的无穷小。故选 B。