1988 年考研数学（二） 第 9 题

旋转体体积套公式 $V=\pi \int y^{2}dx$，关键是别被 ${\sin }^{3/2}x$ 的分数指数吓住——平方后正好变成好积的 ${\sin }^{3}x$。${\int }_0^{\pi /2}{\sin }^3=\frac{2}{3}$ 是华里士公式的常用值，配合区间对称性再 $\times 2$ 得 $\frac{4}{3}$，最后乘 $\pi$。

本题考查旋转体体积公式 $V=\pi {\int }_a^b{y}^{2}dx$。

$y={\sin }^{3/2}x$，故 $y^2={\sin }^{3}x$。于是
$$V=\pi {\int }_0^{\pi }{\sin }^{3}xdx.$$

${\sin }^{3}x$ 在 $[0,\pi ]$ 上关于 $x=\frac{\pi }{2}$ 对称，${\int }_0^{\pi }{\sin }^{3}xdx=2{\int }_0^{\pi /2}{\sin }^{3}xdx=2\cdot \frac{2}{3}=\frac{4}{3}$。故 $V=\frac{4}{3}\pi$，选 B。