1988 年考研数学（二） 第 10 题

题目没让你解微分方程，而是利用「解使方程恒成立」：在 $x_0$ 处代入，配合已知 $f^{\prime }(x_0)=0$，一步得到 $f^{\prime \prime }(x_0)=-4f(x_0)$。再由 $f(x_0)>0$ 断定 $f^{\prime \prime }(x_0)<0$，正是极值第二充分条件（$f^{\prime }=0,f^{\prime \prime }<0\Rightarrow$ 极大）。关键是想到「代方程」而非「求通解」。

本题考查「解满足方程」这一事实与极值第二充分条件。 把 $x_0$ 代入方程求 $f^{\prime \prime }(x_0)$ 的符号。

$f$ 是解，方程对一切 $x$ 成立，特别在 $x_0$：$f^{\prime \prime }(x_0)-2f^{\prime }(x_0)+4f(x_0)=0$。代入 $f^{\prime }(x_0)=0$ 得 $f^{\prime \prime }(x_0)=-4f(x_0)$。

由 $f(x_0)>0$ 知 $f^{\prime \prime }(x_0)=-4f(x_0)<0$。又 $f^{\prime }(x_0)=0$，由极值第二充分条件，$f$ 在 $x_0$ 取极大值。故选 A。