1988 年考研数学（二） 第 11 题

复合函数「已知 $f$ 和 $f\circ \phi$ 求 $\phi$」，就是把 $\phi (x)$ 当未知量代进 $f$ 的表达式再反解。这里 $f$ 是 $e^{(\cdot {)}^2}$，代入得 $e^{{\phi }^2}=1-x$，取对数即可。易错点在定义域：不是 $1-x>0$，而是要让 $\ln (1-x)\ge 0$（根号非负），故是 $1-x\ge 1$，得 $x\le 0$。

本题考查复合函数的反解与定义域。 由 $f(x)=e^{x^2}$ 得 $f[\phi (x)]=e^{{\phi }^2(x)}$，令其等于 $1-x$ 反解 $\phi$。

由 $e^{{\phi }^2(x)}=1-x$，两端取对数得 ${\phi }^2(x)=\ln (1-x)$。又 $\phi (x)\ge 0$，取非负平方根：$\phi (x)=\sqrt{\ln (1-x)}$。

定义域：需 $\ln (1-x)\ge 0$（保证根号有意义），即 $1-x\ge 1$，解得 $x\le 0$。故定义域为 $(-\infty ,0]$。