1988 年考研数学（二） 第 12 题

隐函数求某点高阶导，诀窍是「边求导边代值」：先确定 $(0,1)$，一阶求导后立即代入得 $y^{\prime }(0)=1$，不必解出通式。求二阶时注意 $e^{xy}$ 指数含 $xy$，每次求导都带出 $(y+x{y}^{\prime })$；代 $x=0$ 时凡带因子 $x$ 的项全部消失，只剩 $2e^{xy}(y+x{y}^{\prime })$ 一项，算得 $y^{\prime \prime }(0)=2$。

本题考查隐函数（含 $e^{xy}$）求高阶导数并求值。 先定出 $x=0$ 处的 $y$，再逐次对 $x$ 求导代入。

当 $x=0$ 时 $y=1+0=1$，即点 $(0,1)$。对 $y=1+x{e}^{xy}$ 两端关于 $x$ 求导（$e^{xy}$ 的指数 $xy$ 用乘积法则）：
$$y^{\prime }=e^{xy}+x{e}^{xy}(y+x{y}^{\prime }).$$
代入 $x=0,y=1$：$y^{\prime }{|}_{x=0}=e^0=1$。

对上式两端再关于 $x$ 求导：
$$y^{\prime \prime }=2e^{xy}(y+x{y}^{\prime })+x{e}^{xy}(y+x{y}^{\prime }{)}^2+x{e}^{xy}(2y^{\prime }+x{y}^{\prime \prime }).$$
代入 $x=0,y=1,y^{\prime }=1$：凡带因子 $x$ 的项全部为零，只剩第一项，$y^{\prime \prime }{|}_{x=0}=2e^0\cdot (1+0)=2$。