1988 年考研数学（二） 第 13 题

一阶线性方程的万能钥匙是积分因子 $\mu =e^{\int Pdx}$。这里 $P=\frac{1}{x}$ 给出 $\mu =x$，乘上去后左端恰好凑成 $(xy{)}^{\prime }$——这正是积分因子的设计目的。右端约分后是 $\frac{1}{x^2+1}$，积分得 $\arctan x$，最后别忘了除回 $x$ 并带上任意常数 $C$。

本题考查一阶线性微分方程的求解（积分因子法）。 方程形如 $y^{\prime }+P(x)y=Q(x)$，其中 $P(x)=\frac{1}{x},Q(x)=\frac{1}{x(x^2+1)}$。

积分因子 $\mu =e^{\int \frac{1}{x}dx}=e^{\ln |x|}=x$。两端乘 $\mu$，左端凑成全导数：
$$(xy{)}^{\prime }=x\cdot \frac{1}{x(x^2+1)}=\frac{1}{x^2+1}.$$

两端积分：$xy=\arctan x+C$，故
$$y=\frac{1}{x}\left(\arctan x+C\right)(C\text{为任意常数}).$$