1988 年考研数学（二） 第 14 题

描点作图题按「定义域→一阶导（单调、极值）→二阶导（凹凸、拐点）→渐近线」的流水线走即可。此题分母配方成 $(x-1{)}^2+3$ 恒正，省去间断点讨论；求导后注意分子的零点 $x=1$（极值）、$x=0,2$（拐点）。函数关于 $x=1$ 对称、以 $y=0$ 为水平渐近线，图像是一条钟形曲线。

本题考查用一、二阶导数研究函数并作图。 分母 $x^2-2x+4=(x-1{)}^2+3>0$，故定义域为 $(-\infty ,+\infty )$，函数处处为正、无竖直渐近线。

一阶导：$y^{\prime }=-\frac{6(2x-2)}{(x^2-2x+4{)}^2}=-\frac{12(x-1)}{(x^2-2x+4{)}^2}$。令 $y^{\prime }=0$ 得 $x=1$。当 $x<1$ 时 $y^{\prime }>0$、$x>1$ 时 $y^{\prime }<0$，故在 $(-\infty ,1]$ 单调增、$[1,+\infty )$ 单调减；$x=1$ 为极大值点，极大值 $y(1)=\frac{6}{3}=2$。

二阶导：$y^{\prime \prime }=\frac{36(x^2-2x)}{(x^2-2x+4{)}^3}=\frac{36x(x-2)}{(x^2-2x+4{)}^3}$。令 $y^{\prime \prime }=0$ 得 $x=0,2$。当 $x<0$ 或 $x>2$ 时 $y^{\prime \prime }>0$（凹，$\cup$）；当 $0<x<2$ 时 $y^{\prime \prime }<0$（凸，$\cap$）。$y(0)=y(2)=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$，故拐点为 $\left(0,\frac{3}{2}\right)$ 与 $\left(2,\frac{3}{2}\right)$。

渐近线：${\lim }_{x\to \infty }\frac{6}{x^2-2x+4}=0$，故有水平渐近线 $y=0$，无竖直与斜渐近线。图形是关于直线 $x=1$ 对称的钟形曲线，最高点 $(1,2)$，两侧下降并以 $x$ 轴为渐近线。汇总如下：

$$\begin{array}{ll}\text{项目}& \text{结果}\\ \text{单调增加区间}& (-\infty ,1]\\ \text{单调减少区间}& [1,+\infty )\\ \text{极值点}& x=1\\ \text{极值}& \text{极大值}y=2\\ \text{凹（}\cup \text{）区间}& (-\infty ,0)\text{与}(2,+\infty )\\ \text{凸（}\cap \text{）区间}& (0,2)\\ \text{拐点}& \left(0,\frac{3}{2}\right)\text{，}\left(2,\frac{3}{2}\right)\\ \text{渐近线}& y=0\end{array}$$