1988 年考研数学（二） 第 15 题

「一段铁丝分两截围不同图形、面积和最小」是最值应用的经典题。关键是用「周长=铁丝长」把半径、边长都用同一个变量 $x$ 表示，面积和便成了一元二次型函数，求导一次即可。由于 $S^{\prime \prime }>0$（开口向上），唯一驻点自动是最小值。答案里正方形段 $\frac{4a}{4+\pi }$ 恰好大于圆段 $\frac{\pi a}{4+\pi }$。（也可用拉格朗日乘数法，结果相同。）

本题考查最值应用（一元函数最小值）。 设围成圆的一段长为 $x$（$0<x<a$），另一段 $a-x$ 围正方形，把面积之和表为 $x$ 的函数。

圆：周长 $2\pi r=x\Rightarrow r=\frac{x}{2\pi }$，面积 $\pi r^2=\frac{x^2}{4\pi }$。正方形：边长 $\frac{a-x}{4}$，面积 $\frac{(a-x{)}^2}{16}$。于是
$$S(x)=\frac{x^2}{4\pi }+\frac{(a-x{)}^2}{16},0<x<a.$$

求导令零：$S^{\prime }(x)=\frac{x}{2\pi }-\frac{a-x}{8}=0\Rightarrow 8x=2\pi (a-x)\Rightarrow x=\frac{2\pi a}{8+2\pi }=\frac{\pi a}{4+\pi }$。

又 $S^{\prime \prime }(x)=\frac{1}{2\pi }+\frac{1}{8}>0$，故该驻点为最小值点。此时围成圆的一段长 $\frac{\pi a}{4+\pi }$，围成正方形的一段长 $a-x=\frac{4a}{4+\pi }$。即两段分别取 $\frac{4a}{4+\pi }$（正方形）与 $\frac{\pi a}{4+\pi }$（圆形）时面积之和最小。