乐思数学通 › 考研数学（二） › 真题检索 › 1988 年
1988 年考研数学（二） 第 16 题
解答题 · 10 分
设函数 满足微分方程 ，且其图形在点 处的切线与曲线 在该点处的切线重合，求函数 。
提示 1
先解齐次特征方程得 ；注意 是单根，特解应设 （乘 ）。提示 2
「两曲线在 处切线重合」等价于 且 抛物线在该点斜率 。提示 3
用两个初值条件 定出 。答案与详解
答案
思路（为什么这么做）
这是「求通解 + 定解条件」的组合题。求特解时最容易踩的坑： 的指数 恰是特征单根，必须把待定特解乘 设成 ，否则代入恒为零。定解条件藏在几何语言里——「切线重合」翻译成 （同点）与 （同斜率，斜率由抛物线 在 处给出）。两条件恰好定出两个常数。
解答
本题考查常系数非齐次线性方程求通解，再用切线条件定常数。 先求通解，再由 处的切线信息定 。
特征方程 ，根 ，齐次通解 。因 是单根，非齐次项 对应特解设 ，代入得 ，特解为 。故通解 。
切线条件：曲线 在 处过 ，斜率 。故所求 须满足 且 。
由 。又 ，，即 。联立解得 。故 。
特征方程 ，根 ，齐次通解 。因 是单根，非齐次项 对应特解设 ，代入得 ，特解为 。故通解 。
切线条件：曲线 在 处过 ，斜率 。故所求 须满足 且 。
由 。又 ，，即 。联立解得 。故 。