1988 年考研数学（二） 第 17 题

被积函数带绝对值，先找 $|t|$ 的分界点 $t=0$，把 $1-|t|$ 写成分段。由于积分上限 $x$ 可能在 $0$ 左或右，结果本身也分段：$x<0$ 时区间不跨界，一段积分给出 $\frac{(x+1{)}^2}{2}$；$x\ge 0$ 时要在 $0$ 处断开、两段相加。最后可用 $x=0$ 处两式都等于 $\frac{1}{2}$ 来自检衔接是否正确。

本题考查含绝对值函数的变限积分，需按被积函数分段。 $|t|$ 在 $t=0$ 改变表达式：$t<0$ 时 $1-|t|=1+t$，$t\ge 0$ 时 $1-|t|=1-t$。

当 $-1\le x<0$ 时，积分区间 $[-1,x]$ 全落在 $t<0$ 部分：
$${\int }_{-1}^x(1+t)dt={\left[t+\frac{t^2}{2}\right]}_{-1}^x=\frac{(x+1{)}^2}{2}.$$

当 $x\ge 0$ 时，区间跨过 $0$，分两段：
$${\int }_{-1}^0(1+t)dt+{\int }_0^x(1-t)dt=\frac{1}{2}+\left(x-\frac{x^2}{2}\right)=\frac{1}{2}+x-\frac{x^2}{2}.$$

综上，
$${\int }_{-1}^x(1-|t|)dt=\{\begin{array}{ll}\frac{(x+1{)}^2}{2},& -1\le x<0,\\ \frac{1}{2}+x-\frac{x^2}{2},& x\ge 0.\end{array}$$
（两段在 $x=0$ 处都等于 $\frac{1}{2}$，衔接连续。）