1988 年考研数学（二） 第 18 题

(1) 分子是两个「移位」函数积分之差，换元 $u=t\pm a$ 后都变成从 $0$ 出发的变限积分，$\frac{0}{0}$ 型用洛必达；求导后自然拼出两个差商，极限都是 $f^{\prime }(0)$，相加得 $f^{\prime }(0)$。(2) 看到「积分的平均值」与「$m\le f\le M$」，立刻想积分中值定理：平均值 $=f(\xi )$ 与 $f(x)$ 同在 $[m,M]$ 内，两点之差的绝对值当然不超过区间长度 $M-m$。

本题考查变限积分求导（洛必达法则）与积分中值定理。

(1) 先换元化简分子的两个积分：令 $u=t+a$ 得 ${\int }_{-a}^{a}f(t+a)dt={\int }_0^{2a}f(u)du$；令 $u=t-a$ 得 ${\int }_{-a}^{a}f(t-a)dt={\int }_{-2a}^{0}f(u)du$。于是原极限为
$$\underset{a\to 0^{+}}{\lim }\frac{{\int }_0^{2a}f(u)du-{\int }_{-2a}^{0}f(u)du}{4a^2}(\frac{0}{0}\text{型}).$$

对 $a$ 用洛必达法则（变限积分对 $a$ 求导，注意上、下限各带链式因子 $2$）：
$$=\underset{a\to 0^{+}}{\lim }\frac{2f(2a)-2f(-2a)}{8a}=\frac{1}{2}\underset{a\to 0^{+}}{\lim }\left[\frac{f(2a)-f(0)}{2a}+\frac{f(-2a)-f(0)}{-2a}\right]=\frac{1}{2}(f^{\prime }(0)+f^{\prime }(0))=f^{\prime }(0).$$

(2) 因 $f$ 连续，由积分中值定理，存在 $\xi \in [-a,a]$ 使 $\frac{1}{2a}{\int }_{-a}^{a}f(t)dt=f(\xi )$。又 $m\le f\le M$，故 $f(\xi )$ 与 $f(x)$ 都落在长度为 $M-m$ 的区间 $[m,M]$ 内，从而 $\left|\frac{1}{2a}{\int }_{-a}^{a}f(t)dt-f(x)\right|=|f(\xi )-f(x)|\le M-m$。