1988 年考研数学（二） 第 7 题

「$f<g$ 恒成立，问必有什么」要逐项证真或举反例。核心事实：可导⇒连续⇒极限=函数值，所以 C 直接由 $f(x_0)<g(x_0)$ 得到。B（导数）和 A（换成 $-x$ 反而更小）易排除；最隐蔽的是 D——积分不等式只在上限大于下限时才保号，$x<0$ 会翻向，故不「必有」。

本题考查可导（连续）与极限的关系，以及不等式在求导、积分下是否保持。 逐项判断。

因 $f,g$ 可导故连续，于是 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$、${\lim }_{x\to x_0}g(x)=g(x_0)$。由 $f(x_0)<g(x_0)$ 立得 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)<{\lim }_{x\to x_0}g(x)$，C 正确。

A 错：由 $f<g$ 应有 $f(-x)<g(-x)$；B 错：函数值大小不能决定导数大小（斜率无约束）；D 错：当 $x<0$ 时 ${\int }_0^x=-{\int }_x^0$，不等号会反向，故不恒成立。故选 C。