1988 年考研数学（二） 第 6 题

「某点切线与 $x$ 轴交点」是导数几何意义的最基础应用：先用 $f^{\prime }(0)$ 求斜率、写出点斜式切线，再令 $y=0$ 解横坐标。此题 $f^{\prime }(0)=6$、切线 $y=6x+1$、交点 $\left(-\frac{1}{6},0\right)$，注意常数项来自切点纵坐标 $1$。

本题考查导数的几何意义（切线方程）。 切线斜率即该点导数值。

$f^{\prime }(x)=x^2+x+6$，在 $x=0$ 处斜率 $f^{\prime }(0)=6$。过点 $(0,1)$ 的切线为 $y-1=6(x-0)$，即 $y=6x+1$。

令 $y=0$：$6x+1=0$，$x=-\frac{1}{6}$，故切线与 $x$ 轴交于 $\left(-\frac{1}{6},0\right)$。故选 A。