1988 年考研数学（二） 第 5 题

被积函数出现 $e^{\sqrt{x}}$ 这类「根号在指数上」的结构，第一步几乎总是换元 $\sqrt{x}=t$ 把根号消掉，注意 $dx=2tdt$ 会带出一个因子 $t$。换元后 $\int t{e}^t$ 是分部积分的标准型（多项式乘指数），一次分部即可。

本题考查定积分的换元与分部积分。 先令 $\sqrt{x}=t$ 去根号，再分部。

令 $\sqrt{x}=t$，则 $x=t^2$，$dx=2tdt$；$x:0\to 4$ 对应 $t:0\to 2$。于是
$${\int }_0^4{e}^{\sqrt{x}}dx={\int }_0^2{e}^t\cdot 2tdt=2{\int }_0^{2}t{e}^{t}dt.$$

分部积分（$\int t{e}^{t}dt=t{e}^t-e^t$）：
$$2{\int }_0^{2}t{e}^{t}dt=2[t{e}^t-e^t{]}_0^2=2[(2e^2-e^2)-(0-1)]=2(e^2+1).$$