1988 年考研数学（二） 第 4 题

幂指函数极限（$1^{\infty },{\infty }^0,0^0$）一律「取对数」转成乘积型。此题取对数后是 $-\frac{1}{2}\tan x\ln x$，用 $\tan x\sim x$ 换掉，剩下经典的 $x\ln x\to 0$。指数极限为 $0$，原式就是 $e^0=1$。

本题考查幂指函数（${\infty }^0$ 型）的极限。 取对数化为 $0\cdot \infty$，再用等价无穷小。

当 $x\to 0^{+}$ 时底 $\frac{1}{\sqrt{x}}\to +\infty$、指数 $\tan x\to 0$，属 ${\infty }^0$ 型。令 $y={\left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)}^{\tan x}$，则
$$\ln y=\tan x\cdot \ln \frac{1}{\sqrt{x}}=-\frac{1}{2}\tan x\ln x.$$

当 $x\to 0^{+}$，$\tan x\sim x$，而 ${\lim }_{x\to 0^{+}}x\ln x=0$，故 ${\lim }_{x\to 0^{+}}\ln y=-\frac{1}{2}\cdot 0=0$，从而原极限 $=e^0=1$。