1988 年考研数学（二） 第 3 题

遇到「变限积分等于某函数、求某点函数值」，标准动作就是两端求导。关键细节有两个：一是上限 $x^3-1$ 是复合的，链式法则要补上因子 $3x^2$；二是别急着展开，先想「让上限等于 $7$」需要 $x=2$，代进去一步到位。

本题考查变限积分求导。 对等式两端关于 $x$ 求导，再取合适的 $x$ 使上限等于 $7$。

上限为复合的 $x^3-1$，由变限积分求导法则：$\frac{d}{dx}{\int }_0^{x^3-1}f(t)dt=f(x^3-1)\cdot (x^3-1{)}^{\prime }=3x^{2}f(x^3-1)$。右端 $\frac{d}{dx}x=1$，故 $3x^{2}f(x^3-1)=1$。

要使 $x^3-1=7$，取 $x=2$，代入得 $3\cdot 2^2\cdot f(7)=1$，即 $12f(7)=1$，所以 $f(7)=\frac{1}{12}$。