1988 年考研数学（二） 第 2 题

看到 ${\left(1+\frac{1}{x}\right)}^{(\cdots )\cdot x}$ 且 $x\to \infty$，立刻联想第二个重要极限 ${\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x\to e$。技巧是把指数 $2tx$ 拆成「$x$ 次方再 $2t$ 次方」，极限变成 $e^{2t}$；$t$ 是旁观者要先提出去。求出 $f(t)=t{e}^{2t}$ 后就是普通的乘积求导。

本题考查第二个重要极限 ${\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x\to e$ 与乘积求导。 先把极限算成 $t$ 的显式函数，再求导。

把指数凑成重要极限的形状（$t$ 与极限变量 $x$ 无关，可提到极限号外）：
$$f(t)=t\underset{x\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^{2tx}=t\underset{x\to \infty }{\lim }{\left[{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x\right]}^{2t}=t{e}^{2t}.$$

对 $f(t)=t{e}^{2t}$ 用乘积法则求导：
$$f^{\prime }(t)=e^{2t}+t\cdot 2e^{2t}=(1+2t)e^{2t}.$$