1988 年考研数学（二） 第 1 题

分段函数求参数使之连续，是最常规的套路：只需盯住分段点。左边多项式给出 $f(0)=a$，右边把 $x=0$ 代入 $e^x(\sin x+\cos x)$ 得 $1$，连续要求二者相等，立刻 $a=1$。这里唯一要小心的是别把 $\sin 0,\cos 0$ 记混（$\sin 0=0,\cos 0=1$）。

本题考查分段函数的连续性。 分段点 $x=0$ 处要求左极限、右极限与函数值三者相等。

当 $x\le 0$ 时 $f(x)=2x+a$，故 $f(0)=a$，左极限 ${\lim }_{x\to 0^{-}}f(x)=a$。
当 $x>0$ 时 $f(x)=e^x(\sin x+\cos x)$，右极限 ${\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)=e^0(\sin 0+\cos 0)=1$。

$f(x)$ 在 $x=0$ 处连续要求 ${\lim }_{x\to 0^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)=f(0)$，即 $a=1$。