1987 年考研数学（二） 第 6 题

两个都趋于无穷、相减是 $\infty -\infty$ 未定式，标准做法是通分成一个分式转化为 $\frac{0}{0}$。关键简化：分母 $x(e^x-1)$ 里把 $e^x-1$ 换成等价无穷小 $x$（乘积因子可替换），分母变 $x^2$；分子 $e^x-1-x$ 是熟知的二阶无穷小 $\sim \frac{x^2}{2}$，与分母 $x^2$ 相除即得 $\frac{1}{2}$。用洛必达两次或泰勒展开都殊途同归。

本题考查 $\infty -\infty$ 型极限。 先通分化成 $\frac{0}{0}$ 型，再用等价无穷小或洛必达法则求极限。

通分：
$$\frac{1}{x}-\frac{1}{e^x-1}=\frac{(e^x-1)-x}{x(e^x-1)}.$$
当 $x\to 0$ 时分母中 $e^x-1\sim x$，故 $x(e^x-1)\sim x^2$，于是
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1-x}{x(e^x-1)}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1-x}{x^2}.$$

对 $\frac{e^x-1-x}{x^2}$（$\frac{0}{0}$ 型）用洛必达法则：
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1-x}{x^2}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1}{2x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x}{2}=\frac{1}{2}.$$
（也可由 $e^x-1-x\sim \frac{x^2}{2}$ 直接得 $\frac{1}{2}$。）故原极限 $=\frac{1}{2}$。