1987 年考研数学（二） 第 5 题

两空都在考「积分是求导的逆运算」。第一空直接还原为 $f(x)+C$（不定积分必带常数）。第二空的坑在链式法则：$f(2x)$ 对 $x$ 求导会多出因子 $2$，所以它的原函数要配 $\frac{1}{2}$，得到 $\frac{1}{2}f(2x)$，再用牛顿-莱布尼茨代限，答案是 $\frac{f(2b)-f(2a)}{2}$。

本题考查不定积分与导数互逆、以及定积分的凑微分（换元）。 第一空是「先导后积还原」，第二空要把 $f^{\prime }(2x)$ 凑成 $\frac{1}{2}df(2x)$。

第一空：$f^{\prime }(x)$ 的原函数就是 $f(x)$（相差常数），故
$$\int f^{\prime }(x)dx=f(x)+C.$$

第二空：注意 $\frac{d}{dx}f(2x)=2f^{\prime }(2x)$，即 $f^{\prime }(2x)dx=\frac{1}{2}df(2x)$，于是
$${\int }_a^b{f}^{\prime }(2x)dx=\frac{1}{2}f(2x){|}_a^b=\frac{f(2b)-f(2a)}{2}.$$