1987 年考研数学（二） 第 4 题

遇到「底数趋于 1、指数趋于无穷」的幂指极限，一律往第二个重要极限凑。技巧是把底数拆成 $1+\alpha$（这里 $\alpha =\frac{-3}{n+1}$），再把指数写成 $\frac{1}{\alpha }\cdot (\alpha \cdot n)$，前一半凑出 $e$，后一半 $\alpha n=\frac{-3n}{n+1}\to -3$ 决定最终幂次。也可用 $\lim =e^{\lim n(\text{底}-1)}=e^{-3}$ 快速心算。

本题考查 $1^{\infty }$ 型幂指极限（第二个重要极限）。 底数 $\frac{n-2}{n+1}\to 1$、指数 $n\to \infty$，凑成 ${\left(1+\frac{1}{t}\right)}^t\to e$ 的形式。

把底数写成 $1$ 加无穷小：$\frac{n-2}{n+1}=1+\frac{-3}{n+1}$。于是
$${\left(\frac{n-2}{n+1}\right)}^n={\left[{\left(1+\frac{-3}{n+1}\right)}^{-\frac{n+1}{3}}\right]}^{-\frac{3n}{n+1}}.$$

当 $n\to \infty$ 时，方括号内 ${\left(1+\frac{-3}{n+1}\right)}^{-\frac{n+1}{3}}\to e$，而外层指数 $-\frac{3n}{n+1}\to -3$，故
$$\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(\frac{n-2}{n+1}\right)}^n=e^{-3}.$$