1987 年考研数学（二） 第 3 题

积分中值定理是定积分的核心性质：连续保证了介值性，从而积分（曲边梯形面积）可用某一点的函数值乘区间长度来「拉平」成等面积矩形。记忆时抓住「连续 $\Rightarrow$ 存在 $\xi$ 使 ${\int }_a^{b}f=f(\xi )(b-a)$」，并联想到 $f(\xi )$ 是区间上的平均值。

本题考查（定）积分中值定理的准确表述。 这是定积分性质中的基本定理，需记清其充分条件与结论式子。

条件：$f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续。

结论：在 $[a,b]$ 上至少存在一点 $\xi$，使得
$${\int }_a^{b}f(x)dx=f(\xi )(b-a).$$
其几何意义是：以 $[a,b]$ 为底、以 $f(\xi )$ 为高的矩形面积恰等于曲边梯形的面积，$f(\xi )$ 即 $f$ 在 $[a,b]$ 上的平均值。