1987 年考研数学（二） 第 2 题

求切线/法线三步走：定切点、定斜率、套点斜式。切点用函数值，斜率用导数值 $y^{\prime }(1)=\frac{1}{2}$；法线与切线垂直，斜率互为负倒数，故取 $-2$。$\arctan x$ 的导数 $\frac{1}{1+x^2}$ 是必记结果。

本题考查导数的几何意义（切线与法线方程）。 切点纵坐标由函数值给出，切线斜率是该点导数，法线斜率是切线斜率的负倒数。

切点：$x=1$ 时 $y(1)=\arctan 1=\frac{\pi }{4}$，故切点为 $\left(1,\frac{\pi }{4}\right)$。
斜率：$y^{\prime }=\frac{1}{1+x^2}$，故 $y^{\prime }(1)=\frac{1}{2}$。

切线（点斜式，斜率 $\frac{1}{2}$）：
$$y-\frac{\pi }{4}=\frac{1}{2}(x-1)\Rightarrow y=\frac{1}{2}x+\frac{\pi }{4}-\frac{1}{2}.$$

法线（斜率取切线斜率的负倒数 $-2$）：
$$y-\frac{\pi }{4}=-2(x-1)\Rightarrow y=-2x+\frac{\pi }{4}+2.$$