1987 年考研数学（二） 第 1 题

对数复合函数求导的标准套路是 $(\ln u{)}^{\prime }=u^{\prime }/u$。求二阶导时，把一阶导写成幂函数形式 $a(1+ax{)}^{-1}$ 最省事：对 $(1+ax{)}^{-1}$ 用幂法则得 $-(1+ax{)}^{-2}$，再乘内层导数 $a$，于是又多出一个因子 $a$、符号变负，得到 $-a^2/(1+ax{)}^2$。

本题考查对数复合函数的一阶、二阶导数。 把 $\ln (1+ax)$ 看成对数函数与一次函数的复合，用链式法则逐次求导即可。

一阶导数（外层 $\ln u$ 求导得 $\frac{1}{u}$，再乘内层 $u=1+ax$ 的导数 $a$）：
$$y^{\prime }=\frac{1}{1+ax}\cdot (1+ax{)}^{\prime }=\frac{a}{1+ax}.$$

二阶导数：把 $y^{\prime }=a(1+ax{)}^{-1}$ 再对 $x$ 求导，用幂函数求导法则并乘内层导数 $a$：
$$y^{\prime \prime }=a\cdot (-1)(1+ax{)}^{-2}\cdot a=-\frac{a^2}{(1+ax{)}^2}.$$