1987 年考研数学（二） 第 7 题

参数方程求导的通法：一阶 $\frac{dy}{dx}=\frac{y_t^{\prime }}{x_t^{\prime }}$。最容易错的是二阶导——它是「一阶导对 $t$ 求导」再除以 $x_t^{\prime }$，千万别直接对 $x$ 求导。化简分子时用 $\cos t(1-\cos t)-{\sin }^{2}t=\cos t-{\cos }^{2}t-{\sin }^{2}t=\cos t-1$ 这一步是关键，最后又约出一个 $(1-\cos t)$，得到干净的 $-\frac{1}{5(1-\cos t{)}^2}$。（此为摆线，$5(1-\cos t)>0$ 时二阶导恒负、曲线上凸。）

本题考查参数方程确定的函数求一阶、二阶导数。 一阶导用 $\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}$；二阶导要对一阶导（仍是 $t$ 的函数）再除以 $\frac{dx}{dt}$。

先求对 $t$ 的导数：$\frac{dx}{dt}=5(1-\cos t)$，$\frac{dy}{dt}=5\sin t$。故
$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}=\frac{5\sin t}{5(1-\cos t)}=\frac{\sin t}{1-\cos t}.$$

二阶导数：$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)}{\frac{dx}{dt}}$。先算
$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\sin t}{1-\cos t}\right)=\frac{\cos t(1-\cos t)-\sin t\cdot \sin t}{(1-\cos t{)}^2}=\frac{\cos t-1}{(1-\cos t{)}^2}=\frac{-1}{1-\cos t}.$$

再除以 $\frac{dx}{dt}=5(1-\cos t)$：
$$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{-1}{1-\cos t}\cdot \frac{1}{5(1-\cos t)}=-\frac{1}{5(1-\cos t{)}^2}.$$