1987 年考研数学（二） 第 8 题

遇到「反三角×幂」优先分部积分，且让反三角去求导（$\arcsin x$ 的导数 $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ 是有理化的）。凑 $xdx=d(x^2/2)$ 后，边界项给出 $\frac{\pi }{4}$，剩余积分用 $x=\sin t$ 代换变成 ${\int }_0^{\pi /2}{\sin }^{2}tdt=\frac{\pi }{4}$（点火公式）。最终 $\frac{\pi }{4}-\frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{8}$。

本题考查定积分的分部积分。 把 $xdx$ 凑成 $d\left(\frac{x^2}{2}\right)$，让 $\arcsin x$ 求导以去掉反三角。

分部积分：
$${\int }_0^{1}x\arcsin xdx=\frac{1}{2}{\int }_0^1\arcsin xd(x^2)=\frac{x^2}{2}\arcsin x{|}_0^1-\frac{1}{2}{\int }_0^1\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}dx.$$
第一项 $=\frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{4}$，故原式 $=\frac{\pi }{4}-\frac{1}{2}{\int }_0^1\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}dx$。

对剩下的积分令 $x=\sin t(t\in [0,\frac{\pi }{2}])$，$dx=\cos tdt$，$\sqrt{1-x^2}=\cos t$：
$${\int }_0^1\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}dx={\int }_0^{\pi /2}\frac{{\sin }^{2}t}{\cos t}\cos tdt={\int }_0^{\pi /2}{\sin }^{2}tdt=\frac{\pi }{4}.$$

代回：
$${\int }_0^{1}x\arcsin xdx=\frac{\pi }{4}-\frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{8}.$$