1987 年考研数学（二） 第 9 题

曲边梯形绕 $x$ 轴转，首选圆盘法 $V=\pi \int y^{2}dx$。把 $y^2=(\sin x+1{)}^2$ 展开成三项分别积分最稳妥：平方项 ${\sin }^{2}x$ 必须降幂成 $\frac{1-\cos 2x}{2}$（不能直接积），${\int }_0^{\pi }\sin xdx=2$ 贡献 $4$，常数项贡献 $\pi$。合并整理成 $\frac{\pi }{2}(3\pi +8)$ 形式即可。

本题考查定积分的几何应用——旋转体体积（圆盘法）。 曲边梯形绕 $Ox$ 轴旋转，体积 $V=\pi {\int }_a^b{y}^{2}dx$。

在 $[0,\pi ]$ 上 $y=\sin x+1\ge 0$，用圆盘法：
$$V=\pi {\int }_0^{\pi }(\sin x+1{)}^{2}dx=\pi {\int }_0^{\pi }({\sin }^{2}x+2\sin x+1)dx.$$

对 ${\sin }^{2}x$ 用降幂公式 ${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$，逐项积分：
$${\int }_0^{\pi }\frac{1-\cos 2x}{2}dx=\frac{\pi }{2},{\int }_0^{\pi }2\sin xdx=4,{\int }_0^{\pi }1dx=\pi .$$
三者相加得 $\frac{\pi }{2}+4+\pi =\frac{3\pi }{2}+4$。

故
$$V=\pi \left(\frac{3\pi }{2}+4\right)=\frac{3{\pi }^2}{2}+4\pi =\frac{\pi }{2}(3\pi +8).$$