1987 年考研数学（二） 第 10 题

(1) 是「导数符号 $\Rightarrow$ 单调性」的严格证明，桥梁只有拉格朗日中值定理：把 $f(x_2)-f(x_1)$ 变成 $f^{\prime }(\xi )(x_2-x_1)$，符号立现。(2) 的巧思是用二阶导数的定义式 $g^{\prime \prime }(c)={\lim }_{x\to c}\frac{g^{\prime }(x)}{x-c}$（利用 $g^{\prime }(c)=0$），把「$g^{\prime \prime }(c)<0$」转化为「商 $<0$」的局部符号信息，再由 $x-c$ 的正负反推 $g^{\prime }$ 在两侧变号，从而判定极大值。这套「保号性 + 一阶导变号」是极值充分条件的本质。

本题考查用微分中值定理证明单调性、以及用极限保号性证明极值的充分条件。 (1) 用拉格朗日中值定理；(2) 用导数定义把 $g^{\prime \prime }(c)$ 写成极限，再用保号性讨论 $g^{\prime }$ 的符号。

(1) 任取 $x_1,x_2\in (a,b)$ 且 $x_1<x_2$。因 $f$ 在 $[x_1,x_2]$ 上连续、在 $(x_1,x_2)$ 内可导，由拉格朗日中值定理，存在 $\xi \in (x_1,x_2)$ 使
$$f(x_2)-f(x_1)=f^{\prime }(\xi )(x_2-x_1).$$
由已知 $f^{\prime }(\xi )>0$，且 $x_2-x_1>0$，故 $f(x_2)-f(x_1)>0$，即 $f(x_1)<f(x_2)$。由 $x_1,x_2$ 的任意性知 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内单调增加。

(2) 因 $g^{\prime }(c)=0$，由导数定义
$$g^{\prime \prime }(c)=\underset{x\to c}{\lim }\frac{g^{\prime }(x)-g^{\prime }(c)}{x-c}=\underset{x\to c}{\lim }\frac{g^{\prime }(x)}{x-c}<0.$$
由极限保号性，存在 $\delta >0$，当 $0<|x-c|<\delta$ 时 $\frac{g^{\prime }(x)}{x-c}<0$。

于是：当 $x\in (c-\delta ,c)$ 时 $x-c<0$，故 $g^{\prime }(x)>0$；当 $x\in (c,c+\delta )$ 时 $x-c>0$，故 $g^{\prime }(x)<0$。即 $g^{\prime }$ 在 $c$ 左侧为正、右侧为负，故 $x=c$ 是 $g(x)$ 的极大值点，$g(c)$ 为 $g(x)$ 的一个极大值。