1987 年考研数学（二） 第 11 题

看到 ${\sin }^{2}x,{\cos }^{2}x$ 同时出现在分母、且带待定参数，第一反应是「同除 ${\cos }^{2}x$ 凑 $\tan x$」，因为 ${\sec }^{2}xdx=d(\tan x)$ 恰好消掉多出来的因子。化成 $\int \frac{dt}{a^2{t}^2+b^2}$ 后用标准 $\arctan$ 公式。但题目特意强调「不全为 0 的非负常数」，就是在暗示 $a$ 或 $b$ 可能为零导致退化，务必分类讨论，否则会漏掉 $\tan x/\cot x$ 两种情形。

本题考查三角有理式的积分，需按参数分类讨论。 因 $a,b$ 不全为 $0$（且非负），分 $a=0$、$b=0$、$a,b$ 都不为 $0$ 三种情形。

情形一（$a=0,b\ne 0$）：被积函数为 $\frac{1}{b^2{\cos }^{2}x}$，
$$\int \frac{dx}{b^2{\cos }^{2}x}=\frac{1}{b^2}\int {\sec }^{2}xdx=\frac{1}{b^2}\tan x+C.$$

情形二（$a\ne 0,b=0$）：被积函数为 $\frac{1}{a^2{\sin }^{2}x}$，
$$\int \frac{dx}{a^2{\sin }^{2}x}=\frac{1}{a^2}\int {\csc }^{2}xdx=-\frac{1}{a^2}\cot x+C.$$

情形三（$a\ne 0,b\ne 0$）：分子分母同除 ${\cos }^{2}x$，凑 $d(\tan x)$：
$$\int \frac{dx}{a^2{\sin }^{2}x+b^2{\cos }^{2}x}=\int \frac{{\sec }^{2}xdx}{a^2{\tan }^{2}x+b^2}=\int \frac{d(\tan x)}{a^2{\tan }^{2}x+b^2}.$$
再把分母写成 $b^2+(a\tan x{)}^2$，凑 $d(a\tan x)$：
$$=\frac{1}{a}\int \frac{d(a\tan x)}{b^2+(a\tan x{)}^2}=\frac{1}{ab}\arctan \frac{a\tan x}{b}+C.$$