1987 年考研数学（二） 第 12 题

(1) 关键是识别方程类型：$x{y}^{\prime }=x-y$ 既是一阶线性（凑积分因子 $x$，$(xy{)}^{\prime }=x$ 一步到位），也是齐次型（$y^{\prime }=1-y/x$，令 $u=y/x$）。(2) 二阶常系数非齐次的通解 = 齐次通解 + 一个特解。$\lambda =-1$ 是重根故齐次解带 $x$ 因子；判断特解形式时先看 $e^x$ 的指数 $1$ 是否为特征根——这里不是，所以特解直接设 $(Ax+B)e^x$ 无需再乘 $x$，代入待定系数即可。

本题考查一阶微分方程的初值问题与二阶常系数非齐次线性方程的通解。

(1) 方程 $x{y}^{\prime }=x-y$ 可整理为 $y^{\prime }+\frac{1}{x}y=1$，这是一阶线性方程。取积分因子 $\mu =e^{\int \frac{1}{x}dx}=x$，两端乘 $x$ 得 $(xy{)}^{\prime }=x$，积分得 $xy=\frac{x^2}{2}+C$，即
$$y=\frac{x}{2}+\frac{C}{x}.$$
代入初值 $x=\sqrt{2},y=0$：$0=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{C}{\sqrt{2}}$，解得 $C=-1$。故特解为
$$y=\frac{x}{2}-\frac{1}{x}.$$
（也可令 $u=\frac{y}{x}$ 化为齐次方程求解，结果相同。）

(2) 先求对应齐次方程 $y^{\prime \prime }+2y^{\prime }+y=0$：特征方程 ${\lambda }^2+2\lambda +1=0$ 有重根 ${\lambda }_1={\lambda }_2=-1$，故齐次通解 $Y=(C_1+C_{2}x)e^{-x}$。

再求非齐次特解。右端 $x{e}^x$ 中 $\alpha =1$ 不是特征根，设 $y^{\ast }=(Ax+B)e^x$。代入方程，利用 $(y^{\ast }{)}^{\prime \prime }+2(y^{\ast }{)}^{\prime }+y^{\ast }=(4Ax+4A+4B)e^x$，与 $x{e}^x$ 比较系数得 $4A=1,4A+4B=0$，即 $A=\frac{1}{4},B=-\frac{1}{4}$，故 $y^{\ast }=\frac{1}{4}(x-1)e^x$。

因此原方程通解为
$$y=(C_1+C_{2}x)e^{-x}+\frac{1}{4}(x-1)e^x(C_1,C_2\text{ 为任意常数}).$$