1987 年考研数学（二） 第 13 题

选项各指一种性质时，优先验算最易判定的奇偶性——只需代 $-x$。这里 $x\sin x$ 是「奇×奇=偶」，加绝对值仍偶，$e^{\cos x}$ 因 $\cos$ 偶而偶，整体为偶。其余三项都被因子 $|x|$ 一票否决：$|x|$ 无界（否 A）、非周期（否 C），偶函数关于 $y$ 轴对称也不可能单调（否 B）。

本题考查函数的奇偶性、有界性、单调性、周期性的判定。 逐一检验四个性质。

验证偶函数（D）：
$$f(-x)=|(-x)\sin (-x)|e^{\cos (-x)}=|(-x)(-\sin x)|e^{\cos x}=|x\sin x|e^{\cos x}=f(x),$$
（用到 $\sin$ 为奇、$\cos$ 为偶）故 $f(x)$ 为偶函数，D 正确。

排除其余：因子 $|x\sin x|$ 随 $|x|\to \infty$ 无上界，故非有界函数（A 错）；偶函数不可能在整个 $\mathbb{R}$ 上单调（B 错）；$|x\sin x|$ 含 $|x|$ 使函数不具周期性（C 错）。故选 D。