1987 年考研数学（二） 第 14 题

这是经典陷阱题：$x\sin x$ 无界但不是无穷大。判定要点是用两条特殊点列——在 $\sin x=1$ 的点上 $f=x\to \infty$（证明无界），在 $\sin x=0$ 的点上 $f=0$（证明不趋于无穷、也无极限）。记住：「无穷大 $\Rightarrow$ 无界」，但反之不成立，$x\sin x$ 正是反例。

本题考查「无界」与「无穷大」概念的区别。 关键在于找两列不同趋势的点值来判断。

取 $x_n=2n\pi +\frac{\pi }{2}$，则 $\sin x_n=1$，$f(x_n)=x_n\to +\infty$，说明函数值可以任意大——因此 $f(x)$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 内无界，C 正确、B 错误。

再取 $y_n=2n\pi$，则 $\sin y_n=0$，$f(y_n)=0$。既然存在一列 $y_n\to \infty$ 使 $f(y_n)\to 0$，就不满足「$x\to \infty$ 时 $f\to \infty$」，故 A 错；也不存在有限极限，D 错。故选 C。