1987 年考研数学（二） 第 15 题

题目只给「在 $a$ 处可导」，所以必须回到导数定义，不能假设 $f^{\prime }$ 连续或存在二阶导。核心技巧是「加一项减一项」补出 $f(a)$，把对称差商拆成两个标准差商，各自趋于 $f^{\prime }(a)$。注意第二项的增量是 $-x$，配分母的负号后同样是 $f^{\prime }(a)$，于是合成 $2f^{\prime }(a)$。这是「对称型差商 = 2 倍导数」的经典结论。

本题考查导数定义的灵活运用。 把差商拆成两个标准的导数定义式。

拆项并配凑分母：
$$\frac{f(a+x)-f(a-x)}{x}=\frac{f(a+x)-f(a)}{x}+\frac{f(a-x)-f(a)}{x}.$$
第二项分子分母同乘 $-1$，写成 $\frac{f(a-x)-f(a)}{-x}$。

当 $x\to 0$ 时，第一项 $\to f^{\prime }(a)$；第二项也 $\to f^{\prime }(a)$（增量为 $-x\to 0$）。故
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(a+x)-f(a-x)}{x}=f^{\prime }(a)+f^{\prime }(a)=2f^{\prime }(a).$$
故选 B。