1987 年考研数学（二） 第 16 题

两个入手点：一是概念——定积分对积分变量是「哑变量」，算完与 $x$ 无关，B、C 立即出局；二是换元 $u=tx$ 恰好把外面的因子 $t$ 和积分限里的 $t$ 一起吸收，只剩上限 $s$。结论 $I={\int }_0^{s}f=$ 只随 $s$ 变。这类「值依赖于谁」的题，做一次干净的换元把参数暴露出来最稳。

本题考查定积分的换元与「定积分是常数、与积分变量无关」的概念。 $x$ 是积分变量，积完就消失，故 $I$ 绝不依赖 $x$（排除 B、C）。

作换元 $u=tx$，则 $du=tdx$，即 $tdx=du$；当 $x=0$ 时 $u=0$，当 $x=\frac{s}{t}$ 时 $u=s$。于是
$$I=t{\int }_0^{s/t}f(tx)dx={\int }_0^{s}f(u)du.$$

结果 ${\int }_0^{s}f(u)du$ 仅由上限 $s$ 决定，与 $t$ 无关（$t$ 被换元完全消去）。故 $I$ 依赖于 $s$、不依赖于 $t$，选 D。