1987 年考研数学（二） 第 17 题

最值应用题三步：设参数、建目标函数、求导定最值。这里目标是面积，把它拆成「切线与两轴的三角形」减去「抛物线下的固定面积 $\frac{2}{3}$」——注意后者与 $a$ 无关，是常数。三角形面积 $\frac{1}{2}\cdot \text{底}\cdot \text{高}=\frac{(a^2+1{)}^2}{4a}$ 才是变量。求导时把 $S^{\prime }(a)$ 因式分解成 $\frac{(a^2+1)(3a^2-1)}{4a^2}$，符号完全由 $3a^2-1$ 决定，一眼看出唯一驻点 $a=1/\sqrt{3}$ 且左减右增即最小。

本题考查定积分几何应用与一元函数最值。 先把面积表示成切点横坐标 $a$ 的函数，再求最小值。

设切点为 $M\left(a,-a^2+1\right)$，$0<a<1$（保证在第一象限）。因 $y^{\prime }=-2x$，该点切线斜率为 $-2a$，切线方程
$$y-(-a^2+1)=-2a(x-a),\text{即}y=-2ax+a^2+1.$$
令 $y=0$ 得 $x$ 轴截距 $x=\frac{a^2+1}{2a}$；令 $x=0$ 得 $y$ 轴截距 $y=a^2+1$。

所围图形（切线在上、曲线在下，夹在两坐标轴之间）的面积 = 切线与两轴围成的三角形面积 $-$ 曲线下方面积：
$$S(a)=\frac{1}{2}\cdot \frac{a^2+1}{2a}\cdot (a^2+1)-{\int }_0^1(-x^2+1)dx=\frac{(a^2+1{)}^2}{4a}-\frac{2}{3}.$$

求导找极值：
$$S^{\prime }(a)=\frac{(a^2+1)(3a^2-1)}{4a^2}.$$
在 $0<a<1$ 内令 $S^{\prime }(a)=0$ 得 $3a^2-1=0$，即 $a=\frac{\sqrt{3}}{3}$。当 $0<a<\frac{\sqrt{3}}{3}$ 时 $S^{\prime }<0$、当 $a>\frac{\sqrt{3}}{3}$ 时 $S^{\prime }>0$，故 $a=\frac{\sqrt{3}}{3}$ 为极小值点（也是最小值点）。

此时切点为 $\left(\frac{\sqrt{3}}{3},1-\frac{1}{3}\right)=\left(\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{2}{3}\right)$，最小面积
$$S=\frac{(a^2+1{)}^2}{4a}-\frac{2}{3}{|}_{a=\frac{\sqrt{3}}{3}}=\frac{4\sqrt{3}}{9}-\frac{2}{3}.$$