2026 年考研数学（一） 第 5 题

把置换矩阵拆成若干“交换两行”的初等矩阵之积，是本题的核心视角。因为每个这种初等矩阵都是自身的逆（对合），乘积的逆只是把因子倒序，仍是置换矩阵；而伴随 ${\mathbf{A}}^{\ast }=|\mathbf{A}|{\mathbf{A}}^{-1}$ 在奇置换（行列式 $-1$）时带负号就不再是置换矩阵。抓住“行列式只能取 $\pm 1$”便能区分各选项。

本题考查置换矩阵、逆矩阵与伴随矩阵的关系。 记交换单位矩阵第 $i,j$ 行所得的初等矩阵为 ${\mathbf{E}}_{ij}$，则 $\mathbf{A}$ 是置换矩阵当且仅当 $\mathbf{A}$ 是若干个形如 ${\mathbf{E}}_{ij}$ 的矩阵之积。

由于每个 ${\mathbf{E}}_{ij}$ 都满足 ${\mathbf{E}}_{ij}^{-1}={\mathbf{E}}_{ij}$，故 ${\mathbf{A}}^{-1}$ 仍是若干个形如 ${\mathbf{E}}_{ij}$ 的矩阵之积（次序相反），因此 ${\mathbf{A}}^{-1}$ 仍为置换矩阵，B 正确。

而 ${\mathbf{A}}^{\ast }=|\mathbf{A}|{\mathbf{A}}^{-1}$，只有当 $|\mathbf{A}|=1$ 时它才是置换矩阵，当 $|\mathbf{A}|=-1$（奇置换）时 ${\mathbf{A}}^{\ast }=-{\mathbf{A}}^{-1}$ 含 $-1$ 元素，不是置换矩阵，A 错。C、D 也不恒成立（如三阶轮换 ${\mathbf{A}}^{-1}\ne \pm \mathbf{A}$）。综上应选 B。