2026 年考研数学（一） 第 4 题

被积函数只含 $x^2+y^2+z^2$，等于球坐标的 ${\rho }^2$，这是“用球坐标”的最强信号；同时上半球面加圆锥面围成的“冰淇淋”体在球坐标下边界最简单（$\phi$ 为常数、$\rho$ 为常数）。圆锥 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 对应固定的半顶角 $\phi$。也可用柱坐标写出等价形式作对照，但球坐标最贴合被积函数结构。

本题考查三重积分在柱面、球面坐标下的化法。 上方曲面 $z=\sqrt{4-x^2-y^2}$ 是球面 $x^2+y^2+z^2=4$ 的上半部，下方 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 是顶点在原点、向上张开的圆锥面，$\Omega$ 是它们围成的“冰淇淋”形立体。两曲面交线满足 $\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{4-x^2-y^2}$，即 $x^2+y^2=2,z=\sqrt{2}$。

柱坐标：$x^2+y^2=r^2$，对固定的 $r$，$z$ 由锥面 $z=r$ 到球面 $z=\sqrt{4-r^2}$，其中 $r\in [0,\sqrt{2}]$。于是积分等于
$${\int }_0^{2\pi }\mathrm{d}\theta {\int }_0^{\sqrt{2}}\mathrm{d}r{\int }_r^{\sqrt{4-r^2}}f\left(r^2+z^2\right)r\mathrm{d}z.$$

球坐标：锥面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 对应 $\phi =\frac{\pi }{4}$，故 $\phi \in \left[0,\frac{\pi }{4}\right]$，$\rho \in [0,2]$，$x^2+y^2+z^2={\rho }^2$，体积元为 ${\rho }^2\sin \phi \mathrm{d}\rho \mathrm{d}\phi \mathrm{d}\theta$，即（此处用 $r$ 记 $\rho$）
$${\int }_0^{2\pi }\mathrm{d}\theta {\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\mathrm{d}\phi {\int }_0^{2}f\left(r^2\right)r^2\sin \phi \mathrm{d}r.$$

标准答案取球坐标形式，应选 C。（注：选项 B 给出的柱坐标表达式与本题积分数值相等，也是该积分的正确写法。）