2026 年考研数学（一） 第 3 题

四个选项都是“由……推出……”的命题，判真伪的利器是：真命题给证明、假命题给反例。最关键的题眼是 $f$ 只“有定义”而未必连续可导，因此可用分段、不连续函数构造反例来打掉那些看似成立的选项。而凸函数与“割线斜率单调”等价这一性质，是识别并证明正确选项的钥匙。

本题考查凹凸性、极值、单调性的定义及其相互关系，需从定义严格判断。 这里“凹的”指图形下凸（切线在曲线下方）的凸函数。

A 错：$f$ 未必在 $x=0$ 处连续，仅有两侧单调不足以断定 $f(0)$ 是极小值。取 $f(x)=x^2(x\ne 0),f(0)=1$，它在 $(-1,0)$ 递减、$(0,1)$ 递增，但 $f(0)=1$ 不是极小值。B 错：极小值只要求 $f(0)\le f(x)$ 于某邻域，并不要求两侧严格单调。

C 对：由凸（凹的）函数的定义可推出，对任意 $x_1<x_2<x_3$ 有 $\frac{f(x_3)-f(x_1)}{x_3-x_1}<\frac{f(x_3)-f(x_2)}{x_3-x_2}$，即割线斜率随左端点右移而增大。取定点 $x_3=1$，则 $g(x)=\frac{f(x)-f(1)}{x-1}$（表示点 $(x,f(x))$ 与 $(1,f(1))$ 连线的斜率）在 $[-1,1)$ 上单调递增。

D 错：割线斜率 $\frac{f(x)-f(1)}{x-1}$ 单调递增推不出 $f$ 处处为凹。反例 $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2,& -1\le x<0\\ x^2-1,& 0\le x\le 1\end{array}$，可算得 $g(x)=\frac{f(x)-f(1)}{x-1}$ 在 $[-1,0)$ 与 $[0,1)$ 上都递增且整体递增，但 $f$ 在 $x=0$ 处不连续，并非凹函数。综上应选 C。