2026 年考研数学（一） 第 2 题

系数随 $n$ 的奇偶在 $1$ 与 $\frac{1}{2}$ 间跳动，标准的比值/根值法因极限不存在而失效，这是本题的难点信号。破题思路是抓住“最大”的那一支（偶数项底为 $1$），用收敛的必要条件确定发散范围，再对内部用比较判别法收口；端点也靠必要条件判断，从而定出收敛的开区间。

本题考查系数按奇偶交替的幂级数的收敛域，需回到收敛的必要条件与比较判别法。 记通项 $u_n={\left[\frac{3+(-1{)}^n}{4}\right]}^n{x}^{2n}$：当 $n$ 为偶数时底为 $\frac{3+1}{4}=1$，当 $n$ 为奇数时底为 $\frac{3-1}{4}=\frac{1}{2}$。

由收敛的必要条件，考察偶数项 $n=2m$：${\left[\frac{3+1}{4}\right]}^{2m}{x}^{4m}=x^{4m}$。要使 $\underset{m\to \infty }{\lim }{x}^{4m}=0$，必须 $|x|<1$；当 $|x|\ge 1$ 时偶数项不趋于 $0$，级数发散。

反之当 $-1<x<1$ 时，${\left[\frac{3+(-1{)}^n}{4}\right]}^n{x}^{2n}\le x^{2n}$，而 $\sum _{n=1}^{\infty }{x}^{2n}$（公比 $x^2<1$）收敛，由比较判别法知原级数收敛。故收敛域为 $(-1,1)$，应选 D。