2026 年考研数学（一） 第 1 题

四个选项都是两个偏导的线性组合，提示无需解出 $z$，只要代隐函数求导公式。识别信号是方程把 $x,y,z$ 混在一起、无法显式解出 $z$，于是设 $F(x,y,z)=0$。关键观察是指数 $y+az$ 使 $F_y,F_z$ 共享 ${\mathrm{e}}^{y+az}$ 因子，组合时能整块约去，答案才会化成简洁的常数形式。

本题考查由方程确定的隐函数（多元）求偏导。 令 $F(x,y,z)=x-az-{\mathrm{e}}^{y+az}$，则 $z=z(x,y)$ 满足 $F(x,y,z)=0$。

分别求偏导：$F_x=1$，$F_y=-{\mathrm{e}}^{y+az}$，$F_z=-a-a{\mathrm{e}}^{y+az}=-a\left(1+{\mathrm{e}}^{y+az}\right)$。由隐函数求导公式
$$\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x}{F_z}=\frac{1}{a\left(1+{\mathrm{e}}^{y+az}\right)},\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_y}{F_z}=-\frac{{\mathrm{e}}^{y+az}}{a\left(1+{\mathrm{e}}^{y+az}\right)}.$$

于是 $\frac{\partial z}{\partial x}-\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{1+{\mathrm{e}}^{y+az}}{a\left(1+{\mathrm{e}}^{y+az}\right)}=\frac{1}{a}$，应选 A。