2024 年考研数学（一） 第 9 题

题目以“条件分布”给出 $Y$，最顺的思路是用条件期望而非硬求 $Y$ 的边缘分布。先由 $f_{Y|X}{f}_X$ 得联合密度（这里恰为常数 $2$），再抓住线性关系 $E(Y\mid X)=\frac{1+X}{2}$，借助重期望公式把 $E(XY),E(Y)$ 都化成只含 $X$ 的积分，最后套 $\mathrm{Cov}=E(XY)-E(X)E(Y)$。

本题考查条件分布与协方差。 在 $X=x(0<x<1)$ 条件下 $Y\sim U(x,1)$，故条件密度 $f_{Y|X}(y\mid x)=\frac{1}{1-x}(x<y<1)$。记区域 $D=\{(x,y)\mid x<y<1,0<x<1\}$，则联合密度
$$\phi (x,y)=f_{Y|X}(y\mid x)f(x)=\frac{1}{1-x}\cdot 2(1-x)=2,(x,y)\in D.$$

计算各期望：
$$E(X)={\int }_0^{1}x\cdot 2(1-x)dx=\frac{1}{3},E(X^2)={\int }_0^1{x}^2\cdot 2(1-x)dx=\frac{1}{6}.$$
由 $E(Y\mid X)=\frac{1+X}{2}$ 得 $E(Y)=E\left(\frac{1+X}{2}\right)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}=\frac{2}{3}$。

$$E(XY)=E(XE(Y\mid X))=E\left(\frac{X+X^2}{2}\right)=\frac{1}{2}(\frac{1}{3}+\frac{1}{6})=\frac{1}{4}.$$

$$\mathrm{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=\frac{1}{4}-\frac{1}{3}\cdot \frac{2}{3}=\frac{9}{36}-\frac{8}{36}=\frac{1}{36}.$$
应选 D。