2024 年考研数学（一） 第 10 题

面对“函数 $|X-Y|$ 与谁同分布”，最稳的是直接求 $Z$ 的分布函数。被积的联合密度关于 $y=x$ 对称，用对称性化简 $|x-y|\le z$ 上的积分，结果 $1-e^{-\lambda z}$ 一眼认出是参数 $\lambda$ 的指数分布，与 $X$ 同分布。若嫌积分繁，可用均值排除：$E|X-Y|=1/\lambda$，而 $X+Y$、$2X$ 的均值都是 $2/\lambda$。

本题考查二维随机变量函数的分布。 由 $X,Y$ 独立且均服从参数 $\lambda$ 的指数分布，联合密度
$$f(x,y)={\lambda }^2{e}^{-\lambda (x+y)},x>0,y>0.$$

记 $Z=|X-Y|$ 的分布函数为 $F_Z(z)$。当 $z<0$ 时 $F_Z(z)=0$；当 $z\ge 0$ 时，利用积分区域关于 $y=x$ 的轮换对称性计算得
$$F_Z(z)=P\{|X-Y|\le z\}={\iint }_{|x-y|\le z}f(x,y)dxdy=1-e^{-\lambda z}.$$

因此 $Z$ 的密度 $f_Z(z)=\lambda e^{-\lambda z}(z\ge 0)$，即 $Z$ 服从参数为 $\lambda$ 的指数分布，与 $X$ 同分布。（而 $X+Y$、$\frac{X+Y}{2}$、$2X$ 的分布均与之不同。）应选 D。