2024 年考研数学（一） 第 11 题

遇到 $1^{\infty }$ 型且要由极限定参数，标准动作是“取指数化” $a^b=e^{b\ln a}$，把幂指函数降为指数函数。随后 $x\to 0$ 的三个等价无穷小 $e^u-1\sim u,\ln (1+a{x}^2)\sim a{x}^2,\sin x\sim x$ 依次替换，分子恰为 $x^3$ 阶，与分母抵消后极限就是 $a$，令其等于 $6$ 即得。

本题考查由极限确定参数。 幂指型函数 $(1+a{x}^2{)}^{\sin x}=e^{\sin x\ln (1+a{x}^2)}$。

当 $x\to 0$ 时，$e^u-1\sim u$，$\ln (1+a{x}^2)\sim a{x}^2$，$\sin x\sim x$，故
$$6=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^{\sin x\ln (1+a{x}^2)}-1}{x^3}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x\ln (1+a{x}^2)}{x^3}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x\cdot a{x}^2}{x^3}=a.$$

因此 $a=6$。