2024 年考研数学（一） 第 12 题

全微分系数就是一阶偏导，这是免费信息 $f_u^{\prime }(1,1)=3,f_v^{\prime }(1,1)=4$；再注意 $x=0$ 时内层点正好是 $(1,1)$，条件才用得上。二阶导会冒出二阶偏导，但它们都乘着 $\sin x$ 或 $2x$，在 $x=0$ 处归零，因此只需保留 $-\cos x{f}_u^{\prime }+2f_v^{\prime }$ 这部分——识别“哪些项在 $x=0$ 处为零”是本题省力的关键。

本题考查全微分的概念与复合函数求导（链式法则）。 由 ${\mathrm{d}f|}_{(1,1)}=3\mathrm{d}u+4\mathrm{d}v$ 知 $f_u^{\prime }(1,1)=3$，$f_v^{\prime }(1,1)=4$。注意 $x=0$ 时 $(\cos x,1+x^2)=(1,1)$。

由链式法则
$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f_u^{\prime }\cdot (-\sin x)+f_v^{\prime }\cdot 2x,$$
$$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}=-\cos x{f}_u^{\prime }+(-\sin x)\frac{\mathrm{d}{f}_u^{\prime }}{\mathrm{d}x}+2f_v^{\prime }+2x\frac{\mathrm{d}{f}_v^{\prime }}{\mathrm{d}x}.$$

将 $x=0$（此时 $\sin x=0,\cos x=1,2x=0$）代入，含 $\sin x$ 与 $2x$ 的项全为零：
$${\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}|}_{x=0}=-f_u^{\prime }(1,1)+2f_v^{\prime }(1,1)=-3+2\times 4=5.$$